Cuando estalló la guerra, la universidad fue forzada a cerrar y Cardano se trasladó a la Universidad de Padua para completar sus estudios. Poco después de este traslado, su padre murió pero por esta época Cardano estaba en medio de una campaña para convertirse en rector de la universidad. Fue un estudiante brillante pero, franco y muy crítico, Cardano no era muy querido [4]:
Reconozco ésta como la única y principal de mis faltas - el hábito, en el que persisto, de preferir hablar de las cosas que sé que son desagradables a los oídos de mis interlocutores. Soy consciente de ello, aunque lo mantengo adrede, en ningún modo ignorante de cuántos enemigos me crea.
Cardano estaba aún furioso por su continuada exclusión del Colegio y, en 1536, publicó de manera temeraria un libro atacando no sólo la aptitud médica del Colegio sino también a sus componentes:
Las cosas que dan más reputación a un médico hoy en día son sus maneras, sus criados, su coche, ropas, elegancia y discreción, todas mostradas en una suerte de manera artificial e insípida...
En 1539 Cardano abordó a Tartaglia, que había logrado la fama al ganar un concurso sobre la resolución de cúbicas2, e intentó convencerle para divulgar el método. Tartaglia con el tiempo accedió tras obtener que Cardano prestase juramento de que no publicaría el método hasta que el mismo Tartaglia no lo hubiese publicado. La crónica de Tartaglia del juramento prestado por Cardano fue:
Te juro, por los Santos Evangelios de Dios, y como un verdadero hombre de honor, no sólo nunca publicar tus descubrimientos, si me los enseñas, sino que también te prometo, y presto mi fe como verdadero Cristiano, anotarlos en código, de modo que tras mi muerte nadie sea capaz de comprenderlos.
Uno de los primeros problemas que Cardano encontró fue que la fórmula a veces implicaba raíces cuadradas de números negativos aunque la respuesta fuera un número 'realmente'. El 4 de Agosto de 1539 Cardano escribió a Tartaglia:
He enviado mi pregunta por la solución a varios problemas para los que no me ha dado usted respuesta, uno de los cuales concierne al cubo igual a una incógnita más un número. He seguido esta regla, pero cuando el cubo de un tercio del coeficiente de la incógnita es mayor en valor que el cuadrado de la mitad del número, entonces, parece, no puedo hacerlo encajar en la ecuación.
De hecho Cardano da aquí con precisión las condiciones para que la fórmula implique a las raíces cuadradas de los números negativos. Tartaglia por esta época se arrepentía mucho de haber contado a Cardano el método e intentó confundirle con su respuesta (aunque de hecho Tartaglia, como Cardano, no habrían comprendido los números complejos que ahora entraban en las matemáticas):
... y así le digo en respuesta que usted no ha dominado el verdadero modo de resolver los problemas de este tipo, y en efecto diría que sus métodos son totalmente falsos.
En 1545 Cardano publicó su mejor obra matemática Ars Magna. En ella daba los métodos de solución de la ecuación cúbica y cuártica. De hecho había descubierto en 1543 que Tartaglia no fue el primero en resolver la ecuación cúbica por radicales y por tanto sintió que podía publicar a pesar de su juramento. Ferrari escribió en abril de 1547:
Hace cuatro años cuando Cardano iba a Florencia y yo le acompañaba, vimos en Bolonia a Hannibal Della Nave, un hombre inteligente y humano que nos mostró un pequeño libro en la mano de Scipione del Ferro, su suegro, escrito hacía mucho tiempo, en el que el descubrimiento era presentado de forma elegante y erudita.
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